如何通过4个2构造任意整数
这篇文章是我从YC上的帖子中看到的，相当于一个转载，感兴趣请参考原始博客.
有这样一个数学迷题：
给定4个数字 2 和某个目标自然数，使用任何数学运算用这些 2 生成目标数字，不使用其他数字.
一些简单的例子如下:
\[\begin{aligned} & 1=\frac{2+2}{2+2} \\ & 2=\frac{2}{2}+\frac{2}{2} \\ & 3=2 \cdot 2-\frac{2}{2} \\ & 4=2+2+2-2 \\ & 5=2 \cdot 2+\frac{2}{2} \\ & 6=2 \cdot 2 \cdot 2-2 \end{aligned}\]在进一步：
\[\begin{aligned} 18 & =2^{2^2}+2 \\ 28 & =(2+2)!+2+2 \\ 256 & =(2+2)^{2+2} \\ 65536 & =2^{2^{2^2}} \end{aligned}\]再有就是利用类似22(有两个2)这样的数来构造：
\[\begin{aligned} 26 & =22+2+2 \\ 11 & =\frac{22}{\sqrt{2+2}} \\ 444 & =222 \cdot 2 \end{aligned}\]但是构造 7 是出了名的困难，但如果你允许使用更多数学工具，如 Gamma 函数，就会变得容易。
\[7=\Gamma(2)+2+2+2\]你的数学技能越高，他们能做出的数字就越多。可以参考这个帖子，了解使用积分、循环分数和组合运算符的一些有趣组合。比如涉及复数的一个例子:
\[12=|2+2 \sqrt{-2}|^2\]事实上，这似乎是 20 世纪 20 年代数学家最喜欢的消遣方式。直到保罗·狄拉克 (Paul Dirac) 为每个数字找到了一个通用解，毁掉了所有人的乐趣。
原理就是嵌套的平方根：
\[\begin{aligned} \sqrt{2} & =2^{\frac{1}{2}}=2^{2^{-1}} \\ \sqrt{\sqrt{2}} & =2^{\frac{1}{4}}=2^{2^{-2}} \\ \sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}} & =2^{\frac{1}{8}}=2^{2^{-3}} \end{aligned}\]如果嵌套n次：
\[\sqrt{\sqrt{\cdots n \cdots \sqrt{2}}}=2^{2^{(-n)}}\]然后得到：
\[\log _2 2^{2^{(-n)}}=2^{(-n)}\]推出:
\[\log _2\left(\log _2 2^{2^{(-n)}}\right)=-n\] \[n=-\log _2\left(\log _2(\sqrt{\sqrt{\cdots n \cdots \sqrt{2}}})\right)\]但是你会发现，它使用了三个数字 2，而不是4个。不过，这很容易修改；因为 ，我们可以用它替换任何单个数字，得到4个:
\[n=-\log _{\sqrt{2+2}}\left(\log _2(\sqrt{\sqrt{\cdots n \cdots \sqrt{2}}})\right)\]所以7就可以用如下方式构造：
\[7=-\log _{\sqrt{2+2}}\left(\log _2(\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{2}}}}}}})\right)\]